谈期权定价理论

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谈期权定价理论谈期权定价理论 布莱克和斯科尔斯期权定价理论和公式是最近２５年来经济学领域中最为重大的突破和最卓越的贡献，它不仅为金融衍生证券市场近十年来的迅猛发展奠定了可靠的理论基础，而且它在经济诸多领域中的广泛应用为金融业的未来发展带来一场革命性的变化。本文沿着“复制”的线索对欧式期权定价问题展开讨论，阐述了倒向求解期权定价问题的基本思想，探讨了未来的发展方向。 一、引言 随着布莱克和斯科尔斯合著的一篇载于《政治经济学杂志》1973年5月号的《期权定 价与公司债务》的发表,期权定价这个神秘的问题被认为在金融经济学上有了新的重要意 义。此期权定价模型公式的诞生是1973年金融界出现的两个重大事件之一,另一个是 1973年4月,第一家现代期权交易市场,即芝加哥期权交易所(CBOE)正式开张营业,挂 牌推出12种期权交易。从此,股票期权交易登上官方金融产品交易项目里。一个月之后, 芝加哥的期权交易者们就开始利用布莱克-斯科尔斯公式测算期权的价值。几年的时间 内,这个基本的模型公式被推广应用到认股证书、可兑现债券、可赎回债券和许多其它的 金融工具上。耶鲁大学著名的金融学教授斯蒂芬·罗斯曾把布莱克-斯科尔斯模型描述为：“不仅在金融领域,而且在整个经济学中最为成功的理论。” 二、期权与期权定价问题 斯权(options)有两种类型。一种是买进期权(calloptions)，亦称看涨期权，是指其持有者在规定的时间以确定的价格买进资产(比如股票、利率等)的权利。另一种是卖出期权(putoptions)，亦称看跌期权，是指其持有者在规定的时间以确定的价格卖出资产的权利。期权是所谓衍生证券的一种，它是由股票等“原生资产”或称为“标的资产”所衍生出来的。实际上，生证券在理论上有一个同义词称为未定权益。 在布莱克和斯科尔斯两位先生写作《期权定价与公司债务》一文时，期权交易主要发生在伦敦和芝加哥。这两个市场在一个重要方面即交易形式上存在着差异：以伦敦为基地的投机者经营的期权是欧式期权，而芝加哥的投机者经营的期权是美式期权。欧式期权是在到期日履行，而美式期权是既可在到期日履行，又可在到期日之前的任何时期履行。因此，美式期权定价比欧式期权定价更复杂更困难。本文这里介绍的和布莱克-斯科尔斯的文章一样，考察的仅限于欧式期权，并且本文沿着“复制”的线索来开展期权定价问题讨论的。实际上，布莱克-斯科尔斯模型很快被应用于美式买进期权的定价研究上。 自从布莱克-斯科尔斯公式在1973年发表以来，期权定价就成为金融中数学研究的中心点。布莱克和斯科尔斯的文章，在一定的假设条件下，运用一些高深的数学知识(比如布朗运动、偏微分方程等理论)，给出了欧式买进期权的估值。实际上，隐藏在这种理论背后的思想很简单。下面，我们沿着“复制”的线索来详细地探讨期权定价问题。 这里的期权合约是指给予持有者在实行T时间有权以协商的价格E(通称为执行价 格)去买进一股指定的股票。设S(t)记为股票在t时间时的股票价格。显然，如果S(T)≤ E,那么期权是不值钱的，然而如果S(T)>E，期权对持有者而言有正的(赢利)价值存在, 那么就要执行它。于是，如果S(T)>E,那么期权的卖方有责任在T时间以现金E去支付每股的价值。定价问题就是确定买入者在较早的某一t时间为获得这样的期权应该支付多少去买进期权，同时确定卖方发行期权应报价多少。由于持有期权就等同于有一个投机的机会，所以这一问题的答案首先看起来必须依赖于买入者或卖方对风险的态度，因而是不存在着一种“普适”的定价公式。然而，布莱克和斯科尔斯证明，在某种情况下，实际上这样的一种普通公式存在是可能的。特别地，他们假设股票价格过程S(t)是服从于几何布朗运动(即股价相对变动服从于几何布朗运动)；假设有一个银行帐户，即无风险投资以常值利率r来获得支付利息；同时假设基金可以从银行转移到股票，反之亦然，但要受到限制或需支付费用。那么，可以证明完全的套期保值是可能的；我们能够以银行和股票在T时间具有概率1的价值是(S(T)-E)+形成一个时间变化的或者动态的自筹资的套期保值的证券投资组合。这是无任何交易费用时期权在T时间的价值，如果S(T)>E时，由于期权被执行,而股票立刻转售，那么获得S(T)-E的利润，注意到，期权在t时间<T时的价值是在那时的套期保值证券投资组合的现金价值。假设期权报价的确是Z<W(t)，那么投资者能够采取如下行动。他在套期保值投资组合中执行一个空头头寸，这样在t时间时获得W(t)，而Z是用于购买期权的，那么余下的部分(W(t)-Z)投资于银行。在T时间在银行的投资价值为(W(t)-Z)exp(r(T-t))，并且如果S(T)>E,投资者借助于执行期权并立刻转售股票，那么将获(S(T)-E)+利润。由于后者完全取决于需要结束空头头寸的数量，所以确定的x利润可以获得类似的套利机会对卖方而言是同样可获得的，如果他能够制定比W(t)高的价格,套利机会不能够存在，这是一个公理。因此，从买入者或者卖方的观点看，W(t)对期权而言是唯一的公正价格。 实际上，非常一般的欧式未定权益的完全套期保值在布莱克-斯科尔斯模型所假设的情况中是可行的：如果ψ是股票价格轨迹{S(U):t≤U≤T}的任一个函数，其期望值存在，那么存在一个动态的投资组合，其价值在T时间时完全是ψ;这就是复制投资组合。复制反复无常的未定权益的能力被描述成市场的完全性。在布莱克-斯科尔斯模型所假设的情况中,完全性最终依靠布朗运的鞅表示性质而表示出来。利用如上相同的讨论，对具有损益(payoff，也称为收益)ψ的欧式未定权益而言，公正价格就是复制投资组合的初始资产价值。

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三、期权定价理论的新突破


在布莱克-斯科尔斯公式发表之前，除了默顿对期权应如何定价研究取得重要成果之外，许多经济学家为此也做过长期的努力，但却没能导出一个用其他已知变量表示的期权定价公式。布莱克和斯科尔斯借助复杂的数学工具做到了这些。为了简明清楚地阐述布莱克和斯科尔斯最初的推导期权定价公式的思想，我们这里不采用他们最初的推导方式，而是采用抓住布莱克-斯科尔斯原始公式的内在逻辑而推导出来的一个更为简单的公式。


下面,就以一个具体的事例来说明这一思想。首先假设股票价格在一段确定的时间内以一固定的幅度上下波动。假设股票的原始价格为17美元，到年末既可能降到11美元，又可能上升到23美元；再假定银行利率为10%。投资者能以17美元的执行价格购买到一年期的买进期权，那么，这个期权值多少呢？


如果股票价格降到11美元，买进期权就毫无价值;如果股票价格上升到23美元，买进期权的价格即为6美元；即期权价格=23-17=6。但是，投资者在价格变动之前愿为期权付出多高的价格呢？


假定投资者以17美元的价格买进一股票，并向银行借款10美元。到年末，无论发生什么情况，这位投资者都得偿还10美元的借款和1美元的利息，共计11美元。如果这时股票价格恰好是11美元，那么，这位投资者除有能力支付贷款外，一无所得。在另一种情况下，如果股票价格达到23美元，这位投资者就可得12美元，即23-11=12。


这笔交易中的有利方面是：从借款和股票的组合中获得的利益恰好与购买两笔买进期权所获得的利益相等。因此，在均衡时这样两笔期权的价格一定等于制造另一可供选择的合成期权(即一种复制投资组合的方式)的成本，并且可以测算出来。合成期权需要17美元的支出，减去投资者借入的10美元，等于7美元。这样，单个买进期权一定为7美元成本除以2，即3.5美元。无论投资者是否认为股票价格达到23美元，上述推算一定成立。


这个事例看起来似乎有些脱离实际。股票价格一般说来是天天变动的，并不是以一固定的幅度升降。但是，此方法允许股票的任意小的幅度波动。这就意味着此模型实际上可以容许股票价格连续变动。


假定确如此模型所假设的那样，投资者总是能在期权到期前的一段时间里通过制造合成期权计算出买进期权的价格，那么，投资者也就能运用同一方法准确地计算出更前一 段时间里的期权价格-亦即计算出期权到期前两段时间的价格。以此类推，一直倒推算到现在。实际上，这种期权定价的思想刺激并推动了一大类倒向随机微分方程的求解研究。中国学者彭实戈教授和法国数学家巴赫杜(EtiennePardoux)在1990年证明了满足一定条件的一大类倒向随机微分方程有解的存在唯一性定理,此事确实在随机分析界，继而在数理金融学界引起了很大的轰动和反响。这可以说是，此研究成果是进入90年代以来在期权定价理论方面取得的一个新的重大突破。它是期权定价理论和数值计算的基石。目前，倒向随机微分方程的理论研究和数值计算方法尚有许多问题需要研究和解决，它是数理金融学和随机分析理论研究前沿之一。


上述所列举的事例解释了这样一个惊人的事实即期权价格不依赖于原生资产的预期未来价格，所有投资者都以同样的价格建立合成期权，无论他对未来的信心如何。这使他们对真实期权价值的看法不存在分歧，套利使期权价格和原生资产的现行价格连续起来。布莱克-斯科尔斯公式提供了一个更为精巧的分析方法:如果你知道期权的执行价格、到期日、股票的现行价格、利率以及(具有决定性)股票的预期变幅,那么你就能推导出 买进期权的价格。


目前，期权家庭已经发展成为拥有数千种不同形式的衍生证券，而设计各种衍生证券的技术已经在数理金融学的基础上发展成为一个崭新的学科——金融工程。


四、问题与前景


对现实金融市场中的衍生证券交易而言，布莱克-斯科尔斯模型也存在着一些不严谨的地方。期权价值经常随着原生资产价格比如股票价格的变化而变化。当股票价格上升时,买进期权的价值也上升。因此投资者就必须改变假设的合成期权的构成，以保持与变动中的真实期权的价格相一致。特别地，在现实衍生证券市场上,这种复制投资组合工作不能够准确地实施,因为它涉及到增加部分的再平衡，而且这种情况面对着任何形式的市场磨擦，例如交易费等，这些因素是不能不考虑进去的。从而，这促使带交易费用的证券 投资理论的研究和发展。现今，带交易费用的期权定价理论研究正方兴未艾。


许多金融经济学家针对布莱克-斯科尔斯模型中所表现出来的问题，研究和提出了对它改进的各种各样的期权定价模型，以及许多数值模拟方法，例如默顿提出了随机利率模型的期权定价理论，Rubinstein研究出了转移扩散模型的股票期权定价理论等。这些理论和方法无疑大大推动了包括期权市场在内的衍生证券迅猛的发展。默顿在1997年10月下旬接受德国《经济周刊》采访时所说的“我希望我们研究出来的办法应用于金融机构的管理方面，过去的公式更多的涉及到产品、服务和对抵押品的定价。现在我们将它应用于对金融机构的组织上。”最后，他特别强调地说：“我们的研究还没结束。”目前，默顿教授正将它应用于金融机构组织的研究上。因此，金融经济学的核心——期权定价理论的推广研究和广阔的应用前景，正显示着现代金融理论与其实践相互交融，相互促进，共同发展的美好未来。